Question

对于四面体，以下说法中，正确的序号为 （多选、少选、选错均不得分）.

①若，，为中点，则平面⊥平面；

②若，，则；

③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2：1；

④若以为端点的三条棱所在直线两两垂直，则在平面内的射影为的垂心；

⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面。

Answer 1

①②④

【解析】

试题分析：对于①，如下图所示四面体，

若，，为中点，则，，所以平面，则平面平面，故①正确；

对于②，如下图所示，过作垂直平面交于点，连接，，并延长分别与，，交于点，，，

若，则易得，若，则易得，从而可得为底面的垂心，故，又，所以平面，故，所以②正确；

对于③，如下如图③所示，取中点，连接，设为重心，连接，设上一点为所有棱长都相等四面体的外接球与内切球的球心，外接球与内切球半径分别为，，那么

依题设棱长为，则，，，在中，，， ，又，即，∴ ，，故该四面体的外接球与内切球的半径之比为3：1，即③错误；

对于④，由②证明过程易知④正确；

对于⑤，如下图⑤所示，，，，分别为，，，中点，连接，，

易得，，即，∴ ，，，四点共面，即棱中点连线，共面， 故⑤错误；

考点：立体几何点线面位置关系、平行、垂直关系判断

考点分析： 考点1：点、线、面之间的位置关系 试题属性

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