Question

8．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与圆x²+y²=17有公共点A（1，-4），且圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{17}}{4}$
• B． $\sqrt{17}$
• C． $\frac{\sqrt{17}}{4}$或$\sqrt{17}$
• D． 以上都不对

Answer 1

分析 先求出圆过点P的切线方程，进而求出双曲线的两条渐近线方程，再利用已知渐近线方程设出双曲线的方程，最后把点P的坐标代入即可求此双曲线的方程，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：切点为点A（1，-4）的圆x²+y²=17的切线方程是x-4y=17．
∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，
∴两渐近线方程为x±4y=0．
设所求双曲线方程为x²-16y²=λ（λ≠0）．
∵A（1，-4）在双曲线上，代入上式可得λ=-255，
∴$\frac{b}{a}$=4，
∴b=4a，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{17}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{17}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查双曲线的方程，确定双曲线的方程是关键．