Question

3．设向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），$\overrightarrow{c}$=（cosx，sinx），x∈[0，$\frac{π}{2}$]
（1）若|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，求x的值
（2）设函数f（x）=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，可得：4sin²x=3，解得cos2x=-$\frac{1}{2}$，结合范围x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得x的值．
（2）先求f（x）=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$），结合范围x∈[0，$\frac{π}{2}$]，由正弦函数的性质即可得解．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|，
∴可得：4sin²x=3，由倍角公式可得：$\frac{1-cos2x}{2}$=$\frac{3}{4}$，解得cos2x=-$\frac{1}{2}$，
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x∈[0，π]，
∴解得：2x=$\frac{2π}{3}$，x=$\frac{π}{3}$．
（2）∵f（x）=$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$（sinx+cosx）=$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx）=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]
∴x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴f（x）的最大值位$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的运算，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．