Question

13．将正偶数列{2n}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如图数表：记a_ij是这个数表的第i行第j列的数．例如a₄₃=18．
（1）求该数表前5行所有数之和S；
（2）2012这个数位于第几行第几列？
（3）已知函数f_n（x）=$\frac{\root{3}{x-n}}{{3}^{n}}$（其中x＞0），设该数表的第n行的所有数之和为b_n，数列{f（b_n）}的前n项和为T_n，求证T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）该数表前5行所有数共有=1+2+3+4+5=15个从2开始的连续的偶数．利用等差数列的前n项和公式即可得出．
（2）由（1）可知：这个数表的前n行的偶数的个数=$\frac{n（n+1）}{2}$，前n行的最后一个偶数为n（n+1），当n=44时，44×45=1980；当n=45时，45×46=2070.2012=1980+2×16，即可判断出．
（3）该数表的第n行的所有数之和为b_n=n（n-1）×n+2+4+…+2n=n（n²+1）．可得f（b_n）=$\frac{n}{{3}^{n}}$．利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）解：该数表前5行所有数共有=1+2+3+4+5=$\frac{5×（1+5）}{2}$=15个从2开始的连续的偶数．
∴S=$15×2+\frac{15×14}{2}×2$=240．
（2）解：由（1）可知：这个数表的前n行的偶数的个数=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴前n行的最后一个偶数为n（n+1），当n=44时，44×45=1980；当n=45时，45×46=2070．
∴2012=1980+2×16，即2012是第45行的第16个偶数，即2012这个数位于第45行第16列．
（3）证明：该数表的第n行的所有数之和为b_n=n（n-1）×n+2+4+…+2n=n（n²+1）．
∴f（b_n）=$\frac{\root{3}{{n}^{3}+n-n}}{{3}^{n}}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$．
∴T_n=$\frac{1}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+…+$\frac{n}{{3}^{n}}$，
$\frac{1}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{n-1}{{3}^{n}}+\frac{n}{{3}^{n+1}}$．
∴$\frac{2}{3}{T}_{n}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{3}×（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{n}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}-\frac{3+2n}{2×{3}^{n+1}}$，
∴T_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{3+2n}{4×{3}^{n}}$$＜\frac{3}{4}$．
∴T_n＜$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．