Question

3．已知：△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A为锐角，且$\sqrt{3}$b=2asinB．
（Ⅰ）求：角A的大小；   
（Ⅱ）若a=7，b²+c²=89，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知和正弦定理得sinA，结合A的范围，即可得解．
（Ⅱ）由余弦定理得bc的值，从而由三角形ABC的面积公式即可得解．

解答 （本题10分）
解：（Ⅰ）由已知和正弦定理得：$\frac{b}{sinB}=\frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{sinA}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A为锐角，
∴A=$\frac{π}{3}$．…（4分）
（Ⅱ）由余弦定理得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
∵a=7，b²+c²=89且A=$\frac{π}{3}$，
∴bc=40，
从而，三角形ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×$40×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$．  …（10分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理的综合应用，属于基本知识的考查．