Question

2．如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，AB=$\sqrt{2}$，BC=1，E，F分别是AB，PC的中点，DE⊥PA，求证：平面PAC⊥平面PDE．

Answer 1

分析 根据面面垂直的判定定理，只要证明DE⊥平面PAC，再证明平面PAC⊥平面PDE．

解答 证明：设AC∩DE=G，由△AEG∽△CDG及E为AB中点得$\frac{AG}{CG}=\frac{AE}{CD}=\frac{1}{2}$，
又因为AB=$\sqrt{2}$，BC=1，所以AC=$\sqrt{3}$，AG=$\frac{1}{3}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
所以$\frac{AG}{AE}=\frac{AB}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
又∠BAC为公共角，所以△GAE∽△BAC．
所以∠AGE=∠ABC=90°，即DE⊥AC．                  
又DE⊥PA，PA∩AC=A，
所以DE⊥平面PAC．                                
又DE?平面PDE，
所以平面PAC⊥面PDE．

点评 本题以四棱锥为例，考查了空间的平面与平面垂直的判定，属于中档题．