Question

1．已知二次函数f（x）=x²-kx+k（k＞0，x∈R），不等式f（x）≤0解集有且只有一个元素，设数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）（n∈N^•）．
（1）求数列{a_n}项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}_{n}}$，求数列{b_n}项和T_n；
（3）设各项均不为0的数列{c_n}中，所有满足c_m•c_m+1＜0的正整数m的个数，称为这个数列的变号数，若c_n=1-$\frac{k}{{a}_{n}}$（n∈N^*），求数列{c_n}的变号数．

Answer 1

分析 （1）根据不等式f（x）≤0解集有且只有一个元素，得到根的判别式等于0求出k的值，确定出f（x）解析式，确定出S_n解析式，根据a_n=S_n-S_n-1，确定出数列{a_n}项公式即可；
（2）根据b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}_{n}}$，表示出数列{b_n}项和T_n，两边乘以$\frac{1}{3}$后两式相减确定出T_n即可；
（3）根据k的值确定出c_n，利用题中新定义数列的变号数，判断即可得到结果．

解答 解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴△=k²-4k=0，
解得：k=0或k=4，
又k＞0，
∴k=4，即f（x）=x²-4x+4；S_n=f（n）=n²-4n+4，
∴当n=1时，a₁=S₁=1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-5，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1（n=1）}\\{2n-5（n≥2的正整数）}\end{array}\right.$；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{3}_{n}}$，数列{b_n}项和T_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{-1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+$\frac{3}{{3}^{4}}$+…+$\frac{2n-5}{{3}^{n}}$①，
∴$\frac{1}{3}$T_n=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{-1}{{3}^{3}}$+$\frac{1}{{3}^{4}}$+$\frac{3}{{3}^{5}}$+…+$\frac{2n-7}{{3}^{n}}$+$\frac{2n-5}{{3}^{n+1}}$②，
①-②得：$\frac{2}{3}$T_n=$\frac{1}{3}$-$\frac{2}{{3}^{2}}$+2（$\frac{1}{{3}^{3}}$+$\frac{1}{{3}^{4}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$）-$\frac{2n-5}{{3}^{n+1}}$，
∴T_n=$\frac{1}{3}$-$\frac{n-1}{{3}^{n}}$；
（3）由题设c_n=$\left\{\begin{array}{l}{-3（n=1）}\\{1-\frac{4}{2n-5}（n≥2的正整数）}\end{array}\right.$，
当n≥3时，c_m+1-c_n=$\frac{4}{2n-5}$-$\frac{4}{2n-3}$=$\frac{8}{（2n-5）（2n-3）}$＞0，
∴n＞3时，数列{c_n}递增，
∵1-$\frac{4}{2n-5}$＞0，即n≥5，
∴a_n＞0（n≥5的正整数），
∵c₄=-$\frac{1}{3}$＜0，
∴c₄•c₅＜0，
即n≥3时，有且只有一个变号数，
又c₁=-3，c₂=5，c₃=-3，即c₁c₂＜0，c₂c₃＜0，此处变号数有2个，
综上，得数列{c_n}共有3个变号数，即变号数为3．

点评 此题属于数列与函数的综合，数列的求和，以及数列递推式，熟练掌握数列的性质是解本题的关键．