Question

19．若不等式0≥sin²x+mcosx-2对任意x∈[0，$\frac{1}{2}$π）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 问题等价于m小于等于f（x）=$\frac{2-si{n}^{2}x}{cosx}$在x∈[0，$\frac{1}{2}$π）时的最小值，由三角函数和基本不等式可得．

解答 解：∵不等式0≥sin²x+mcosx-2对任意x∈[0，$\frac{1}{2}$π）恒成立，
∴mcosx≤2-sin²x对任意x∈[0，$\frac{1}{2}$π）恒成立，
∴m≤$\frac{2-si{n}^{2}x}{cosx}$对任意x∈[0，$\frac{1}{2}$π）恒成立，
∴只需m小于等于f（x）=$\frac{2-si{n}^{2}x}{cosx}$在x∈[0，$\frac{1}{2}$π）时的最小值，
变形可得f（x）=$\frac{2-（1-co{s}^{2}x）}{cosx}$=$\frac{1+co{s}^{2}x}{cosx}$
=$\frac{1}{cosx}$+cosx≥2$\sqrt{\frac{1}{cosx}•cosx}$=2，
当且仅当$\frac{1}{cosx}$=cosx即cosx=1即x=0时取等号，
∴m的取值范围为（-∞，2]

点评 本题考查三角函数的最值，涉及恒成立和基本不等式，属中档题．