Question

椭圆的中心为坐标原点,点分别是椭圆的左、右顶点,为椭圆的上顶点,一个焦点为,离心率为.点是椭圆上在第一象限内的一个动点,直线与轴交于点,直线与轴交于点.

（I）求椭圆的标准方程；

（II）若把直线的斜率分别记作，求证：；

 (III) 是否存在点使，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

解: （I）由题意，可设椭圆C的方程为,则，，

所以，，                      

  所以椭圆C的方程为.                  

   （II）由椭圆C的方程可知，点的坐标为，点的坐标为,

    设动点的坐标为，由题意可知,

    直线的斜率，直线的斜率,

    所以 ,                          

  因为点在椭圆上，

    所以,即,                

    所以                           

  （III）设直线的方程为，

   令，得，所以点的坐标为,          

   设直线的方程为，

   令，得，所以点的坐标为,         

   由椭圆方程可知，点的坐标为,

   由，得,

   由题意，可得

整理得,                                    

   与联立,消可得,

   解得或 ,                                 

   所以直线的直线方程为或,

   因为与椭圆交于上顶点，不符合题意.

   把代入椭圆方程,得,

   解得或,                                     

   因为，所以点的坐标为.