Question

13．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知$B=\frac{π}{4}$，cosA-cos2A=0．
（1）求角C；
（2）若b²+c²=a-bc+2，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）根据二倍角公式即可求出A，再根据三角形的内角和定理即可求出C，
（2）根据余弦定理和b²+c²=a-bc+2，求出a，再根据两角差的正弦公式即可求出sinC，再由正弦公式和三角形的面积公式即可求出

解答 解：（1）因为cosA-cos2A=0，
所以2cos²A-cosA-1=0，
解得cosA=-$\frac{1}{2}$，cosA=1（舍去）．
所以$A=\frac{2}{3}π$，
又$B=\frac{π}{4}$，
所以$C=\frac{π}{12}$．
（2）在△ABC中，因为$A=\frac{2}{3}π$，由余弦定理
所以a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²+bc，
又b²+c²=a-bc+2，
所以a²=a+2，
所以a=2，
又因为$sinC=sin\frac{π}{12}=sin（{\frac{π}{3}-\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{4}$，
由正弦定理$\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$
得$c=\frac{{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}}{3}$，
所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}ac•sinB=1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理三角形的面积公式以及二倍角公式和两角差的正弦公式，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题