Question

15．已知f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）为二次函数，且满足f（2）=1，f（x）在x轴上的两个交点为（1，0）、（3，0）．
（1）求函数f（x）在R上的解析式；
（2）作出f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的性质设出二次函数的解析式，求出即可；（2）画出函数图象，根据图象写出单调区间即可．

解答 解：（1）x＞0时，f（x）在x轴上的两个交点为（1，0）、（3，0），
设f（x）=a（x-1）（x-3），将（2，1）代入f（x）求出a=-1，
故x＞0时，f（x）=-x²+4x-3，
而f（x）为定义在R上的奇函数，
故x=0时，f（x）=0，
x＜0时，f（x）=x²+4x+3，
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+4x-3，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+4x+3，x＜0}\end{array}\right.$；
（2）由f（x）的解析式得函数图象，如图所示：
 
结合图象得：增区间（-2，0），（0，2）； 
减区间（-∞，-2），（2，+∞）．

点评 本题考查了二次函数的图象和性质，考查函数的单调性问题，是一道中档题．