Question

3．已知在圆x²+y²-4x+2y=0内，过点E（1，0）的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（　　）

• A． $3\sqrt{5}$
• B． 6$\sqrt{5}$
• C． $4\sqrt{15}$
• D． 2$\sqrt{15}$

Answer 1

分析 圆x²+y²-4x+2y=0即（x-2）²+（y+1）²=5，圆心M（2，-1），半径r=$\sqrt{5}$，最长弦AC为圆的直径．BD为最短弦，AC与BD相垂直，求出BD，由此能求出四边形ABCD的面积．

解答 解：圆x²+y²-4x+2y=0即（x-2）²+（y+1）²=5，圆心M（2，-1），半径r=$\sqrt{5}$，
最长弦AC为圆的直径为2$\sqrt{5}$，
∵BD为最短弦
∴AC与BD相垂直，ME=d=$\sqrt{2}$，
∴BD=2BE=2$\sqrt{5-2}$=2$\sqrt{3}$，
∵S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=$\frac{1}{2}$BD×EA+$\frac{1}{2}$×BD×EC
=$\frac{1}{2}$×BD×（EA+EC）=$\frac{1}{2}$×BD×AC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2\sqrt{5}$=2$\sqrt{15}$．
故选：D

点评 本题考查四边形的面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．