Question

已知不等式x+

1

x-1

+a≥9对x∈（1，+∞）恒成立，则正实数a的最小值为（　　）

• A、8
• B、6
• C、4
• D、2

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：不等式x+

1

x-1

+a≥9化为a≥8-(x-1+

1

x-1

)，因此不等式x+

1

x-1

+a≥9对x∈（1，+∞）恒成立，?a≥[8-(x-1+

1

x-1

)]max．再利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：不等式x+

1

x-1

+a≥9化为a≥8-(x-1+

1

x-1

)，
∵不等式x+

1

x-1

+a≥9对x∈（1，+∞）恒成立，
∴a≥[8-(x-1+

1

x-1

)]max．
∵x＞1，∴x-1+

1

x-1

≥2

(x-1)• 1 x-1

=2，当且仅当x=2时取等号．
∴a≥8-2=6，
∴正实数a的最小值为6．
故选：B．

点评：本题考查了基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．