Question

（Ⅰ）求(

x

3

+

3

x

)9的展开式常数项及中间两项；
（Ⅱ）已知(

x

+

2

x2

)n的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56：3，求n．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（Ⅰ）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．再根据展开式共有10项，可得中间2项．
（Ⅱ）根据(

x

+

2

x2

)n的展开式的通项公式可得第5项的系数与第3项的系数之比是

C 4 n •24

C 2 n •22

=

56

3

，由此求得n的值．

解答： 解：（Ⅰ）(

x

3

+

3

x

)9的展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 9

•3^2r-9•x9-

3r

2

，
令9-

3r

2

=0，求得r=6，可得展开式的常数项为

C

6 9

•2³=672．
由于展开式共有10项，故中间两项分别为第5项和第6项，即r=4或r=5，
即中间两项为T₅=

C

4 9

•

1

3

•X³=56x³，T₆=

C

5 9

•3•x

3

2

=441x

3

2

．
（Ⅱ）已知(

x

+

2

x2

)n的展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r n

•2^r•x

n-5r

2

，
第5项的系数与第3项的系数之比是

C 4 n •24

C 2 n •22

=

56

3

，求得n=10．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．