Question

20．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+k（1-{a}^{2}），x≥0}\\{{x}^{2}+（{a}^{2}-4a）x+（3-a）^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，其中a∈R．若对任意非零实数x，存在唯一实数x₂（x₁≠x₂），使得f（x₁）=f（x₂）成立，则实数k的最小值为8．

Answer 1

分析 由于函数f（x）是分段函数，且对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，得到x=0时，f（x）=k（1-a²），进而得到，关于a的方程（3-a）²=k（1-a²）有实数解，即得△≥0，解出k即可．

解答 解：∵函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}kx+k（1-{a^2}）\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;（x≥0）\\{x^2}+（{a^2}-4a）x+{（3-a）^2}\;\;\;\;\;\;\;（x＜0）\end{array}\right.$，其中a∈R，
∴x=0时，f（x）=k（1-a²），
又由对任意的非零实数x₁，存在唯一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得f（x₂）=f（x₁）成立，
∴函数必须为连续函数，即在x=0附近的左右两侧函数值相等，
易知，k≤0时，结合图象可知，不符合题意，
∴k＞0，且（3-a）²=k（1-a²），即（k+1）a²-6a+9-k=0有实数解，
所以△=6²-4（k+1）（9-k）≥0，解得k＜0或k≥8，
又∵k＞0，
∴k的取值范围为[8，+∞），
故实数k的最小值为8，
故答案为：8

点评 本题主要考查分段函数的应用，结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．注意利用数形结合进行求解．