Question

12．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位，已知曲线C₁的极坐标方程为ρ²-4ρcosθ=0，已知点A的极坐标为（3$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且点A在直线l上．
（1）把曲线C₁的极坐标方程化为参数方程；
（2）求曲线C₁上任意一点到直线l的距离的最大值．

Answer 1

分析 （1）曲线C₁的参数方程ρ²-4ρcosθ=0化为普通方程（x-2）²+y²=4，再化为参数方程；
（2）直线l的直角坐标方程为x+y-6=0，可得圆上的点到直线的距离为：d=$\frac{|2+2cost+2sint-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2\sqrt{2}sin（t+\frac{π}{4}）-4|}{\sqrt{2}}$≤2+2$\sqrt{2}$，即可求曲线C₁上任意一点到直线l的距离的最大值．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程ρ²-4ρcosθ=0化为普通方程（x-2）²+y²=4，
再化为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cost}\\{y=2sint}\end{array}\right.$，（0≤t＜2π）．（5分）
（2）圆（x-2）²+y²=4，所以圆心为（2，0），
由点（3$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=a，且点A在直线l上，可得a=3$\sqrt{2}$，
所以直线l的方程可化为ρcosθ+ρsinθ-6=0，从而直线l的直角坐标方程为x+y-6=0，（7分）
所以圆上的点到直线的距离为：d=$\frac{|2+2cost+2sint-6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2\sqrt{2}sin（t+\frac{π}{4}）-4|}{\sqrt{2}}$≤2+2$\sqrt{2}$，
所以曲线C₁上任意一点到直线的距离的最大值2+2$\sqrt{2}$．（10分）

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、三角函数的单调性值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．