Question

20．若a＞1，设函数f（x）=a^x+x-4的零点是x₁，g（x）=log_ax+x-4的零点为x₂，则$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的取值范围是（　　）

• A． [3.5，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． [4，+∞）
• D． [4.5，+∞）

Answer 1

分析 把函数零点转化为两个函数图象交点的横坐标，根据指数函数与对数函数互为反函数，得到两个函数图象之间的关系求出x₁，x₂之间的关系，根据两者之和是定值，利用基本不等式得到要求的结果．

解答 解：函数f（x）=a^x+x-4的零点是函数y=a^x与函数y=4-x图象交点的横坐标，
函数g（x）=log_ax+x-4的零点是函数y=log_ax与函数y=4-x图象交点的横坐标，
由于指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于直线y=x对称，直线y=4-x与直线y=x垂直，
故直线y=4-x与直线y=x的交点（2，2），∴x₁+x₂=4，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{4}（{x}_{1}+{x}_{2}）（\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}）$=$\frac{1}{4}（2+\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}）$≥$\frac{1}{4}（2+2\sqrt{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}•\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}）=1$，
当x₁=x₂时等号成立，而x₁+x₂=4，故当x₁=x₂=2时，$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$≥1，
∴$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$的取值范围是[1，+∞）．
故选：B．

点评 本题考查函数零点、反函数的性质，考查利用基本不等式求最值．根据函数图象的对称性找到两个函数零点的关系是解答该题的关键，是中档题．