Question

2．设O为坐标原点，点A（2，1），若动点M（x，y）满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}2x+y-12≤0\\ x-4y+3≤0\\ x≥1\end{array}\right.$，则使$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}$取得最大值的动点M的个数是（　　）

• A． 存在唯一1个
• B． 存在无数多个
• C． 恰好2个
• D． 至多存在3个

Answer 1

分析 作出可行域，由数量积可得z=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}$=3x+y，变形目标函数，平移直线可得答案．

解答 解：作出$\left\{\begin{array}{l}2x+y-12≤0\\ x-4y+3≤0\\ x≥1\end{array}\right.$，所对应的可行域（如图阴影），
设z=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}$=2x+y，则y=-2x+z，
平移直线2x+z可知，当直线与图中直线2x+y-12=0重合时，目标函数取最大值，
∴使得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OM}$取得最大值时的点M的个数是无数个
故选：B．

点评 本题考查简单线性规划，涉及向量的数量积，准确作图是解决问题的关键，属中档题．