Question

17．已知a，b∈R，函数f（x）=ax-b，若对任意x∈[-1，1]，有0≤f（x）≤1，则$\frac{3a+b+1}{a+2b-2}$的取值范围为（　　）

• A． [-$\frac{1}{2}$，0]
• B． [-$\frac{4}{5}$，0]
• C． [-$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{7}$]
• D． [-$\frac{4}{5}$，$\frac{2}{7}$]

Answer 1

分析 根据不等式成立转化为$\left\{\begin{array}{l}{0≤f（1）≤1}\\{0≤f（-1）≤1}\end{array}\right.$，设$\frac{3a+b+1}{a+2b-2}$=λ，转化为直线方程，求出直线过定点D（-$\frac{4}{5}$，$\frac{7}{5}$），结合直线向量公式进行化简，利用数形结合进行求解即可得到结论．

解答 解：∵f（x）=ax-b，若对任意x∈[-1，1]，有0≤f（x）≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0≤f（1）≤1}\\{0≤f（-1）≤1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0≤a-b≤1}\\{0≤-a-b≤1}\end{array}\right.$，
设$\frac{3a+b+1}{a+2b-2}$=λ，即3a+b+1=λ（a+2b-2），
即l：3a+b+1-λ（a+2b-2）=0，
则（1-2λ）b+（3-λ）a+1+2λ=0，
得b=$\frac{λ-3}{1-2λ}$a-$\frac{λ+2}{1-2λ}$，直线斜率k=$\frac{λ-3}{1-2λ}$
则由$\left\{\begin{array}{l}{3a+b+1=0}\\{a+2b-2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{5}}\\{b=\frac{7}{5}}\end{array}\right.$，即直线过定点D（-$\frac{4}{5}$，$\frac{7}{5}$），
作出不等式组对应的平面区域如图：
则DA的斜率最小，DC的斜率最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{b-a=0}\\{-a-b=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即A（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）
由$\left\{\begin{array}{l}{a-b=1}\\{-a-b=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即C（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
则k_DA=$\frac{-\frac{1}{2}-\frac{7}{5}}{-\frac{1}{2}+\frac{4}{5}}$=-$\frac{19}{3}$，k_DC=$\frac{-\frac{1}{2}-\frac{7}{5}}{\frac{1}{2}+\frac{4}{5}}$=-$\frac{19}{13}$，
则-$\frac{19}{3}$≤$\frac{λ-3}{1-2λ}$≤-$\frac{19}{13}$，即$\frac{19}{3}$≤$\frac{λ-3}{2λ-1}$≤$\frac{19}{13}$，
即$\frac{13}{19}$≤$\frac{2λ-1}{λ-3}$≤$\frac{3}{19}$，即$\frac{13}{19}$≤$\frac{2（λ-3）+5}{λ-3}$≤$\frac{3}{19}$，
即$\frac{13}{19}$≤2+$\frac{5}{λ-3}$≤$\frac{3}{19}$，$-\frac{35}{19}$≤$\frac{5}{λ-3}$≤=$\frac{25}{19}$，
-$\frac{7}{16}$≤$\frac{1}{λ-3}$≤-$\frac{5}{19}$，
即-$\frac{19}{5}$≤λ-3≤-$\frac{19}{7}$，
得-$\frac{4}{5}$≤λ≤$\frac{2}{7}$，
故选：D

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据不等式恒成立进行转化，求出直线的定点坐标，求出直线的斜率，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．