Question

20．已知函数f（x）=ax+xlnx图象在点（e，f（e））（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数a的值；
（2）若k∈Z，且f（x）-k（x-1）＞0对任意x＞1恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f′（e）=3，求出a的值即可；
（2）问题等价于k＜$\frac{x+xlnx}{x-1}$对任意x＞1恒成立，令g（x）=$\frac{x+xlnx}{x-1}$，根据函数的单调性求出k的最大值即可．

解答 解：（1）由已知得f′（x）=a+lnx+1，故f′（e）=3，
∴a+lne+1=3，∴a=1；…（5分）
（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，
等价于k＜$\frac{x+xlnx}{x-1}$对任意x＞1恒成立，
令g（x）=$\frac{x+xlnx}{x-1}$，则g′（x）=$\frac{x-lnx-2}{{（x-1）}^{2}}$，
令h（x）=x-lnx-2，x＞1，
则h′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上单调增加，
∵h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
∴h（x）在（1，+∞）上在唯一实数根x₀，满足x₀∈（3，4），且h（x₀）=0
当x∈（1，x₀）时，h（x）＜0，∴g′（x）＜0；
当x∈（x₀，+∞）时，h（x）＞0，∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，
∴g（x）_min=g（x₀）=$\frac{{x}_{0}（1{+x}_{0}-2）}{{x}_{0}-1}$=x₀∈（3，4），
∴k＜g（x）_min=x₀∈（3，4），
∴整数k的最大值为3．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．