Question

13．已知等差数列{a_n}的首项a₁=1，公差d＞0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{b_n}的第2项、第3项、第4项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对任意n∈N^*均有$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}}$=a_n+1成立，求c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₅的值．

Answer 1

分析 （1）通过a₁=1，进而表示出b₂=a₂=1+d、b₃=a₅=1+4d、b₄=a₁₄=1+13d，利用${{b}_{3}}^{2}$=b₂b₄计算可知d=2，从而a_n=2n-1，进而可知等比数列{b_n}的公比q=3，计算即得结论；
（2）通过$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}}$=a_n+1与$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n-1}}{{b}_{n-1}}$=a_n作差，整理可知c_n=2•3^n-1，进而可知数列{c_n}的通项公式，利用等比数列的求和公式计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，b₂=a₂=1+d，
b₃=a₅=1+4d，b₄=a₁₄=1+13d，
∵${{b}_{3}}^{2}$=b₂b₄，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得：d=2或d=0（舍），
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∵等比数列{b_n}的公比q=$\frac{{b}_{3}}{{b}_{2}}$=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=$\frac{9}{3}$=3，
∴b_n=3•3^n-2=3^n-1；
（2）∵$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}}$=a_n+1，
∴当n≥2时，$\frac{{c}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{c}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{{c}_{n-1}}{{b}_{n-1}}$=a_n，
两式相减得：$\frac{{c}_{n}}{{b}_{n}}$=a_n+1-a_n=2，
∴c_n=2b_n=2•3^n-1，
又∵c₁=a₂b₁=3不满足上式，
∴c_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，}&{n=1}\\{2•{3}^{n-1}，}&{n≥2}\end{array}\right.$，
∴c₁+c₂+c₃+…+c₂₀₁₅=3+$\frac{6（1-{3}^{2014}）}{1-3}$
=3-3+3²⁰¹⁵
=3²⁰¹⁵．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．