Question

已知a，b，c为△ABC的三边，若b²+c²-a²=bc，则

b+c

a

的取值范围是（　　）

• A、（1，2]
• B、（1，

  3

  ]
• C、[

  3

  ，2]
• D、（

  3

  ，2]

Answer 1

考点：余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，确定出A的度数，进而求出B+C的度数，用B表示出C，所求式子利用正弦定理化简，将sinA的值与表示出的C代入，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可确定出范围．

解答： 解：∵△ABC中，b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
∴A=60°，即B+C=120°，
将

b+c

a

利用正弦定理化简得：

sinB+sinC

sinA

=

sinB+sinC

3 2

=

2 3

3

[sinB+sin（120°-B）]=

2 3

3

（

3

2

sinB+

3

2

cosB）=2（

3

2

sinB+

1

2

cosB）=2sin（B+30°），
∵0＜B＜120°，即30°＜B+30°＜150°，
∴

1

2

＜sin（B+30°）≤1，即1＜2sin（B+30°）≤2，
则

b+c

a

的取值范围是（1，2]．
故选：A．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理是解本题的关键．