Question

18．已知函数f（x）=lnx-a$\frac{x-1}{x+1}$，a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x≠1时，$\frac{{（{x+1}）lnx+2a}}{{{{（{x+1}）}^2}}}＜\frac{lnx}{x-1}$恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）定义域是（0，+∞），$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{2a}{{{{（x+1）}^2}}}=\frac{{{x^2}+2（1-a）x+1}}{{x{{（x+1）}^2}}}$．令g（x）=x²+2（1-a）x+1．对△=4（1-a）²-4与0的大小，分类讨论，即可得出单调性．
（Ⅱ）由$\frac{{（{x+1}）lnx+2a}}{{{{（{x+1}）}^2}}}＜\frac{lnx}{x-1}$，得$\frac{{（{x+1}）lnx+2a}}{{{{（{x+1}）}^2}}}-\frac{lnx}{x-1}＜0$，即$\frac{-2lnx}{{{x^2}-1}}+\frac{{2a（{x-1}）}}{{{{（{x+1}）}^2}（{x-1}）}}＜0$，即$\frac{2}{{1-{x^2}}}（{lnx-a\frac{x-1}{x+1}}）＜0$，即$\frac{2}{{1-{x^2}}}f（x）＜0$．对a分类讨论，利用（I）的f（x）的单调性，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）定义域是（0，+∞），$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{2a}{{{{（x+1）}^2}}}=\frac{{{x^2}+2（1-a）x+1}}{{x{{（x+1）}^2}}}$．（1分）
令g（x）=x²+2（1-a）x+1．
①当△=4（1-a）²-4≤0，即0≤a≤2时，g（x）≥0恒成立，即f'（x）≥0，
所以f（x）的单调增区间为（0，+∞）；                                             （2分）
②当△=4（1-a）²-4＞0时，即a＜0或a＞2时，方程g（x）=0有两个不等的实根，${x_1}=a-1-\sqrt{{{（a-1）}^2}-1}，{x_2}=a-1+\sqrt{{{（a-1）}^2}-1}$．
若a＜0，由x₁+x₂=2（a-1）＜0，x₁x₂=1＞0得，x₁＜0，x₂＜0，
所以g（x）＞0在（0，+∞）成立，即f'（x）＞0，所以f（x）的单调增区间为（0，+∞）；            （3分）
若a＞2，由x₁+x₂=2（a-1）＞0，x₁x₂=1＞0得，x₁＞0，x₂＞0，
由g（x）＞0得x的范围是（0，x₁），（x₂，+∞），由g（x）＜0得x的范围（x₁，x₂），
即f（x）的单调递增区间为（0，x₁），（x₂，+∞），f（x）的单调递减区间为（x₁，x₂）．（4分）
综上所述，当a＞2时，f（x）的单调递增区间为$（{0，a-1-\sqrt{{{（a-1）}^2}-1}}），（{a-1+\sqrt{{{（a-1）}^2}-1}，+∞}）$，f（x）的单调递减区间为$（{a-1-\sqrt{{{（a-1）}^2}-1}，a-1+\sqrt{{{（a-1）}^2}-1}}）$；
当a≤2时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无递减区间．（5分）
（Ⅱ）由$\frac{{（{x+1}）lnx+2a}}{{{{（{x+1}）}^2}}}＜\frac{lnx}{x-1}$，得$\frac{{（{x+1}）lnx+2a}}{{{{（{x+1}）}^2}}}-\frac{lnx}{x-1}＜0$，
即$\frac{-2lnx}{{{x^2}-1}}+\frac{{2a（{x-1}）}}{{{{（{x+1}）}^2}（{x-1}）}}＜0$，即$\frac{2}{{1-{x^2}}}（{lnx-a\frac{x-1}{x+1}}）＜0$，即$\frac{2}{{1-{x^2}}}f（x）＜0$．（7分）
①由（Ⅰ）可知当a≤2时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），又f（1）=0，（8分）
所以当x∈（0，1）时，f（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0；
又当x∈（0，1）时，$\frac{2}{{1-{x^2}}}＞0$，当x∈（1，+∞）时，$\frac{2}{{1-{x^2}}}＜0$；
所以$\frac{2}{{1-{x^2}}}f（x）＜0$，即原不等式成立．（9分）
②由（Ⅰ）可知当a＞2时，f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）单调递增，在（x₁，x₂）单调递减，
且x₁x₂=1，得x₁＜1＜x₂，f（x₂）＜f（1）=0，（10分）
而$\frac{2}{1-x_2^2}＜0$，所以$\frac{2}{1-x_2^2}f（{x_2}）＞0$与条件矛盾．（11分）
综上所述，a的取值范围是（-∞，2]．（12分）

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．