Question

7．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x-b|的最小值为1．
（1）证明：2a+b=2；
（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简f（x）的解析式，判断f（x）的单调性，根据单调性得出f（x）的最小值化简即可得出结论；
（2）分离参数得t≤$\frac{a+2b}{ab}$，把2a+b=2代入不等式，根据基本不等式的性质得出$\frac{a+2b}{ab}$的最小值，从而得出t的范围．

解答 解：（1）证明：令x+a=0得x=-a，令2x-b=0得x=$\frac{b}{2}$，
∵a＞0，b＞0，∴-a$＜\frac{b}{2}$，
则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-3x-a+b，x≤-a}\\{-x+a+b，-a＜x＜\frac{b}{2}}\\{3x+a-b，x≥\frac{b}{2}}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，$\frac{b}{2}$]上单调递减，在（$\frac{b}{2}$，+∞）上单调递增，
∴f_min（x）=f（$\frac{b}{2}$）=a+$\frac{b}{2}$=1，2a+b=2；
（2）∵a+2b≥tab恒成立，∴t≤$\frac{a+2b}{ab}$恒成立，
∵2a+b=2，∴a+$\frac{1}{2}$b=1，
∴$\frac{a+2b}{ab}$=$\frac{1}{b}$+$\frac{2}{a}$=$\frac{a+\frac{1}{2}b}{b}$+$\frac{2a+b}{a}$=$\frac{5}{2}$+$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$≥$\frac{5}{2}+2$=$\frac{9}{2}$，（当且仅当a=b时取等号）
∴$\frac{a+2b}{ab}$的最小值为$\frac{9}{2}$，
∴t$≤\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了函数单调性的判断与最值计算，基本不等式的应用，属于中档题．