Question

16．为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x）、推理（能力指标y）、建模（能力指标z）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养；若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果：

学生编号	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	A10
（x，y，z）	（2，2，3）	（3，2，3）	（3，3，3）	（1，2，2）	（2，3，2）	（2，3，3）	（2，2，2）	（2，3，3）	（2，1，1）	（2，2，2）

（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；
（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X=a-b，求随机变量X的分布列及其数学期望．

Answer 1

分析 （1）由题可知：建模能力一级的学生是A₉；建模能力二级的学生是A₂，A₄，A₅，A₇，A₁₀；建模能力三级的学生是A₁，A₃，A₆，A₈．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出，P（A）．
（2）由题可知，数学核心素养一级：A₁，A₂，A₃，A₅，A₆，A₈，数学核心素养不是一级的：A₄，A₇，A₉，A₁₀；X的可能取值为1，2，3，4，5．利用相互独立事件、互斥事件与古典概率计算公式即可得出P（X=k）及其分布列与数学期望．

解答 解：（1）由题可知：建模能力一级的学生是A₉；建模能力二级的学生是A₂，A₄，A₅，A₇，A₁₀；建模能力三级的学生是A₁，A₃，A₆，A₈．
记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，
则$P（A）=\frac{C_5^2+C_4^2}{{C_{10}^2}}=\frac{16}{45}$．
（2）由题可知，数学核心素养一级：A₁，A₂，A₃，A₅，A₆，A₈，数学核心素养不是一级的：A₄，A₇，A₉，A₁₀；X的可能取值为1，2，3，4，5.$P（X=1）=\frac{C_3^1C_2^1}{C_6^1C_4^1}=\frac{1}{4}$；$P（X=2）=\frac{C_3^1C_1^1+C_2^1C_2^1}{C_6^1C_4^1}=\frac{7}{24}$；$P（X=3）=\frac{C_3^1C_1^1+C_2^1C_1^1+C_1^1C_2^1}{C_6^1C_4^1}=\frac{7}{24}$；$P（X=4）=\frac{C_2^1C_1^1+C_1^1C_1^1}{C_6^1C_4^1}=\frac{1}{8}$；$P（X=5）=\frac{C_1^1C_1^1}{C_6^1C_4^1}=\frac{1}{24}$．
∴随机变量X的分布列为：

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{7}{24}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{24}$

∴$EX=1×\frac{1}{4}+2×\frac{7}{24}+3×\frac{7}{24}+4×\frac{1}{8}+5×\frac{1}{24}$=$\frac{29}{12}$．

点评 本题考查了相互独立事件、互斥事件、古典概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．