Question

17．如图1所示，在等腰梯形ABCD中，$BE⊥AD，BC=3，AD=15，BE=3\sqrt{3}$．把△ABE沿BE折起，使得$AC=6\sqrt{2}$，得到四棱锥A-BCDE．如图2所示．

（1）求证：面ACE⊥面ABD；
（2）求平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AE⊥EC，AE⊥BD，CE⊥BD，从而BD⊥面ACE，由此能证明面ABD⊥面ACE．
（2）设EC∩BD=O，过点O作OF∥AE交AC于点F，以点O为原点，以OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-BCF，利用向量法能求出平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值．

解答 证明：（1）在等腰梯形ABCD中BC=3，AD=15，BE⊥AD，可知AE=6，DE=9．
因为$BC=3，BE=3\sqrt{3}，BE⊥AD$，可得CE=6．
又因为$AE=6，AC=6\sqrt{2}$，即AC²=CE²+AE²，则AE⊥EC．
又BE⊥AE，BE∩EC=E，可得AE⊥面BCDE，故AE⊥BD．
又因为$tan∠DBE=\frac{DE}{BE}=\frac{9}{{3\sqrt{3}}}=\sqrt{3}$，
则∠DBE=60°，$tan∠BEC=\frac{BC}{BE}=\frac{3}{{3\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，则∠BEC=30°，
所以CE⊥BD，
又AE∩EC=E，所以BD⊥面ACE，
又BD?面ABD，所以面ABD⊥面ACE；
解：（2）设EC∩BD=O，过点O作OF∥AE交AC于点F，
以点O为原点，以OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-BCF．
在△BCE中，∵∠BEO=30°，BO⊥EO，
∴$EO=\frac{9}{2}，CO=\frac{3}{2}，BO=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，则$B（{\frac{{2\sqrt{3}}}{2}，0，0}），C（{0，\frac{3}{2}，0}），E（{0，-\frac{9}{2}，0}）$，
∵$FO∥AE，FO=\frac{1}{2}AE，AE=6$，
∴FO=3，则$F（{0，0，3}），A（{0，-\frac{9}{2}，6}）$，
∵DE∥BC，DE=9，∴$\overrightarrow{ED}=3\overrightarrow{BC}$，∴$D（{-\frac{{9\sqrt{3}}}{2}，0，0}）$，
∴$\overrightarrow{BE}=（{\frac{{3\sqrt{3}}}{2}，\frac{9}{2}，0}），\overrightarrow{AE}=（{0，0，6}），\overrightarrow{CA}=（{0，-6，6}），\overrightarrow{CD}=（{-\frac{{9\sqrt{3}}}{2}，-\frac{3}{2}，0}）$，
设平面ABE的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{{x_1}，{y_1}，{z_1}}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AE}=6{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{BE}=\frac{3\sqrt{3}}{2}{x}_{1}+\frac{9}{2}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，取${x_1}=\sqrt{3}$，可得平面ABE的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（$\sqrt{3}，-1，0$），
设平面ACD的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CA}=-6{y}_{2}+6{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{CD}=-\frac{9\sqrt{3}}{2}{x}_{2}-\frac{3}{2}{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
取x₂=1，可得平面ABE的一个法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，-3$\sqrt{3}$，-3$\sqrt{3}$）．
设平面ABE与平面ACD所成锐二面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{55}}$=$\frac{2\sqrt{165}}{55}$，
所以平面ABE与平面ACD所成锐二面角的余弦值为$\frac{{2\sqrt{165}}}{55}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．