Question

20．已知两个非零平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：对任意λ∈R恒有|$\overrightarrow{a}$-$λ\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$|，则：
①若|$\overrightarrow{b}$|=8，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=32；
②若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{6}$，则$\frac{|2\overrightarrow{a}+t•\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}$的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）对|$\overrightarrow{a}$-$λ\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$|两边平方，转化为关于λ的二次函数恒成立问题，根据判别式得出；
（2）将$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|代入恒等式得出|$\overrightarrow{a}$|和|$\overrightarrow{b}$|的关系，将所求式子两边平方得到关于t的函数，求出该函数的最小值即可．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{a}$-$λ\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$|，∴$\overrightarrow{a}$²-2λ$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+λ²$\overrightarrow{b}$²≥$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{b}$²，
∴64λ²+2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$λ+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-16≥0对任意λ恒成立．
∴（2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）²-256（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-16）≤0，即（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-32）²≤0．∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=32．
（2）∵|$\overrightarrow{a}$-$λ\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$|，∴$\overrightarrow{a}$²-2λ$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+λ²$\overrightarrow{b}$²≥$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{b}$²，即λ²$\overrightarrow{b}$²-2λ$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{b}$²≥0恒成立，
∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|，∴λ²|$\overrightarrow{b}$|²-$\sqrt{3}$λ|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|+$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|-$\frac{1}{4}$|$\overrightarrow{b}$|²≥0恒成立．
∴3|$\overrightarrow{a}$|²|$\overrightarrow{b}$|²-4|$\overrightarrow{b}$|²（$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|-$\frac{1}{4}$|$\overrightarrow{b}$|²）≤0，∴3|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²≤2$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|，
又∵3|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²≥2$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|，当且仅当|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|时取等号．
∴|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$|，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow{b}$|=$\frac{3}{2}$|$\overrightarrow{a}$|²，
∴$（\frac{2\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}）^{2}$=$\frac{4|\overrightarrow{a}{|}^{2}+4t\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{t}^{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}}{|\overrightarrow{b}{|}^{2}}$=t²+2t+$\frac{4}{3}$=（t+1）²+$\frac{1}{3}$．
∴当t=-1时，$（\frac{2\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}）^{2}$取得最小值$\frac{1}{3}$，∴$\frac{|2\overrightarrow{a}+t•\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{b}|}$的最小值为$\sqrt{\frac{1}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为32，$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，二次函数恒成立问题，二次函数的最值，属于中档题．