Question

9．已知函数$f（x）={sin^2}ωx+（2\sqrt{3}sinωx-cosωx）cosωx-λ$的图象关于直线x=π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈（$\frac{1}{2}$，1）．
（1）求函数f （x）的最小正周期；
（2）若存在${x_0}∈[0，\frac{3π}{5}]$，使f（x₀）=0，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-λ，利用正弦函数的对称性解得：2ωx-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，结合范围ω∈（$\frac{1}{2}$，1），可得ω的值，利用周期公式即可得解．
（2）令f（x₀）=0，则λ=2sin（$\frac{5{x}_{0}}{3}$-$\frac{π}{6}$），结合范围-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5{x}_{0}}{3}$-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，由正弦函数的性质可得-$\frac{1}{2}$≤sin（$\frac{5{x}_{0}}{3}$-$\frac{π}{6}$）≤1，进而得解λ的取值范围．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）$f（x）={sin^2}ωx+（2\sqrt{3}sinωx-cosωx）cosωx-λ$
=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx-λ=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）-λ，
∵函数f（x）的图象关于直线x=π对称，
∴解得：2ωx-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可得：ω=$\frac{k}{2}$+$\frac{1}{3}$（k∈Z），
∵ω∈（$\frac{1}{2}$，1）．可得k=1时，ω=$\frac{5}{6}$，
∴函数f （x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{6π}{5}$…6分
（2）令f（x₀）=0，则λ=2sin（$\frac{5{x}_{0}}{3}$-$\frac{π}{6}$），
由0≤x₀≤$\frac{3π}{5}$，可得：-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5{x}_{0}}{3}$-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
则-$\frac{1}{2}$≤sin（$\frac{5{x}_{0}}{3}$-$\frac{π}{6}$）≤1，
根据题意，方程λ=2sin（$\frac{5{x}_{0}}{3}$-$\frac{π}{6}$）在[0，$\frac{3π}{5}$]内有解，
∴λ的取值范围为：[-1，2]…12分

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的对称性，三角函数的周期公式，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．