Question

（本小题满分12）如图①在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E，F，G分别是线段PC、PD，BC的中点，现将ΔPDC折起，使PD⊥平面ABCD（如图②）
（1）求证AP∥平面EFG；
（2）求平面EFG与平面PDC所成角的大小；
（3）求点A到平面EFG的距离。

Answer 1

解法一：（Ⅰ）如图. 以D为坐标原点，直线DA、DC、DP分别为与z轴建立空间直角坐标系：                                    
则    
    
设平面GEF的法向量，由法向量的定义得：

不妨设 z=1，  则              
    ，点P平面EFG
∴AP∥平面EFG   
（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面GEF的法向量         ，
因平面EFD与坐标平面PDC重合，则它的一个法向量为=（1，0，0）
设平面间的夹角为.   则       
故夹角的大小为45°。
（Ⅲ） ，  
解法二：（1）∵EF∥CD∥AB，EG∥PB，根据面面平行的判定定理
∴平面EFG∥平面PAB，又PA面PAB，∴AP∥平面EFG
（2）∵平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC
∴AD⊥平面PCD，而BC∥AD，∴BC⊥面EFD
过C作CR⊥EF交EF延长线于R点连GR，根据三垂线定理知
∠GRC即为二面角的平面角，∵GC=CR，∴∠GRC=45°，
故平面间的夹角大小为45°。  （3）同上

略