【题目】在平面直角坐标系中,椭圆: 的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过原点的直线与椭圆交于, 两点(, 不是椭圆的顶点),点在椭圆上,且.直线与轴、轴分别交于两点.设直线的斜率分别为,证明存在常数使得,并求出的值.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由离心率可得,由对称性直线被椭圆截得弦长为可求得点坐标为,代入椭圆方程可求得得椭圆标准方程;
(Ⅱ)直线与椭圆相交,设, ,有,由直线垂直得直线的斜率为.为了简便设直线的方程为,代入椭圆方程消元得的一元二次方程.可得,于是有,而,于是写出直线方程,求出点坐标,可得,比较可得.
试题解析:
(Ⅰ)∵,∴,,∴.①
设直线与椭圆交于,两点,不妨设点为第一象限内的交点.∴,
∴代入椭圆方程可得.②
由①②知,,所以椭圆的方程为:.
(Ⅱ)设,则,
直线的斜率为,又,
故直线的斜率为.设直线的方程为,
由题知,联立,得.
∴,,由题意知,
∴,直线的方程为.
令,得,即,可得,∴,即.
因此存在常数使得结论成立.
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【题目】如图⑴、⑵、⑶、⑷为四个几何体的三视图,根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为
A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台
B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台
C.三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台
D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台
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【题目】甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:
甲 | 82 | 81 | 79 | 78 | 95 | 88 | 93 | 84 |
乙 | 92 | 95 | 80 | 75 | 83 | 80 | 90 | 85 |
(1)用茎叶图表示这两组数据;
(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.
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【题目】已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2﹣3x,则函数g(x)=f(x)﹣x+3的零点的集合为( )
A.{1,3}
B.{﹣3,﹣1,1,3}
C.{2﹣ ,1,3}
D.{﹣2﹣ ,1,3}
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【题目】设{an}是一个公差不为零的等差数列,其前n项和为Sn , 已知S9=90,且a1 , a2 , a4成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn= ,求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)其中ω>0,|φ|< .
(1)若cos cosφ﹣sin sinφ=0.求φ的值;
(2)在(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ,求函数f(x)的解析式;并求最小正实数m,使得函数f(x)的图象象左平移m个单位所对应的函数是偶函数.
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