Question

某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有四个奖励模型：y=

1

4

x，y=lgx+1，y=（

3

2

）^x，y=

x

，其中能符合公司要求的模型是（　　）

• A、y=

  1

  4

  x
• B、y=lgx+1
• C、y=（

  3

  2

  ）^x
• D、y=

  x

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用,对数函数、指数函数与幂函数的增长差异

专题：函数的性质及应用

分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．

解答： 解：由题意，符合公司要求的模型需同时满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，
对于y=

1

4

x，易知满足①，但当x＞20时，y＞5，不满足公司的要求；
对于y=(

3

2

)x，易知满足①，∵1.5⁴＞5，故当x＞4时，不满足公司的要求；
对于y=

x

，易知满足①，∵当x＞25时，y＞5，不满足公司的要求；
对于y=lgx+1，易知满足①，当x∈[10，1000]时时，2≤y≤4满足②
再证明lg+1≤x•25%，即2lgx+4-x≤0，
设F（x）=2lgx+4-x，则F′（x）=

2

xln10

-1＜0，x∈[10，1000]…（10分）
∴F（x）在[10，1000]上为减函数，F（x）_max=F（10）=2lg10+4-10=-4＜0，满足③
综上，奖励模型y=lgx+1能完全符合公司的要求．
故选：B．

点评：本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，构造函数F（x）=2lgx+4-x，利用导数研究其单调性与最值是关键，也是难点所在，突出考查转化思想与综合分析的能力，属于难题．