Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=na_n-n（n-1），且a₁=1．
（Ⅰ） 求证{a_n}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 设b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知数列递推式得S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）（n≥2），与原递推式作差，可得a_n-a_n-1=2（n≥2），则数列{a_n}是以a₁=1为首项，以2为公差的等差数列，代入等差数列的通项公式求得{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的通项公式代入b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，然后利用裂项相消法求数列的前n项和．

解答 解：（Ⅰ）∵S_n=na_n-n（n-1），∴S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）（n≥2），
列式相减得：a_n=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），即a_n-a_n-1=2（n≥2），
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，以2为公差的等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅱ）b_n=$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=$（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$1-\frac{1}{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．