Question

已知函数f（x）=x³-3ax-1，a≠0
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．    
（Ⅲ）若a＞0，求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值g（a）．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）先求f′（x），依据导数与函数单调性的关系解不等式即可，要分a＜0，a＞0两种情况讨论．
（Ⅱ）先根据极值点求出a，然后利用导数研究函数的单调性，求出极值以及端点的函数值，观察可知m的范围．
（Ⅲ）由导数求出函数在区间（0，1）上的极值，和端点值比较后得函数f（x）在区间[0，1]上的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-3a，
①当a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在R上单调递增；
②当a＞0时，由f′（x）＞0即3x²-3a＞0，解得x＜-

a

或x＞

a

，
由f′（x）＜0得-

a

＜x＜

a

，
∴f（x）的单调增区间为（-∞，-

a

）和（

a

，+∞）；f（x）的单调减区间是（-

a

，

a

）．
（Ⅱ）因为f（x）在x=-1处取得极大值，
所以f′（-1）=3×（-1）²-3a=0，∴a=1．
所以f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=0解得x₁=-1，x₂=1．
由（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x=-1处取得极大值f（-1）=1，
在x=1处取得极小值f（1）=-3．
因为直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，
结合f（x）的单调性可知，m的取值范围是（-3，1）；
（Ⅲ）x∈[0，1]，f'（x）=3x²-3a，
令f'（x）=0，则x=±

a

．
①当0＜a＜1时，在区间[0，

a

）上，f'（x）＜0，在区间（

a

，1]上，f'（x）＞0，
∴函数f（x）在区间[0，

a

）上单调递减，在区间（

a

，1]上单调递增，且x=

a

是[0，1]上唯一极值点，
∴f（x）_min=f（

a

）=-2a

a

-1；
②当a≥1时，在区间[0，1]上，f'（x）≤0，
∴f（x）在区间[0，1]上单调递减，∴函数f（x）_min=f（1）=-3a．
综上所述，g（a）=

-2a a -1，0＜a＜1 -3a，a≥1

．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及求最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．