Question

【题目】为了丰富改善居民生活，市招商局引进外商到开发区一次性投资72万元建起了一座蔬菜加工厂.以后每年还需要继续投资：第一年需要要各种经费为12万元，从第二年开始每年所需经费均比上一年增加4万元，该加工厂每年销售总收入为50万元.

（1）若扣除投资及各种经费，该加工厂从第几年开始纯利润为正？

（2）若干年后，外商为开发新项目，对加工厂有两种处理方案：

①若年平均纯利润达到最大值时，便以48万元价格出售该厂；

②若纯利润总和达到最大值时，便以16万元的价格出售该厂.

问：哪一种方案比较合算？说明理由.

Answer 1

【答案】（1）从第三年开始获利；（2）见解析

【解析】分析：（1）利润总额即年中的收入减去年所需各种经费，解出结果进行判断得出何年开始赢利；（2）利用基本不等式算出第一种方案总盈利，利用二次函数性质算出第二种方案的总盈利，得到每一种方案的总盈利，比较大小选择方案．

详解：由题设知，每年的经费是以12首项，4为公差的等差数列。设纯利润与年数的关系为，则

（1）获纯利润为正，即，即，即.

又，所以，即从第三年开始获利；

（2）①年平均纯利润为，

又，当且仅当时取等号，此时，

这样以第一种方案共获利万元；

②若纯利润总和，所以时，纯利润总和达到最大值，此时共获利万元；

由上可知，两种方案获利相同，但是第一种方案需要时间比第二种方案需要时间少得多，故选择第一种方案较好.