Question

14．若实数a，b，c成等差数列，点P（-1，0）在动直线ax+by+c=0上的投影为M，点N（3，3），则线段MN长度的取值范围为[5-$\sqrt{2}$，5+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 由a，b，c成等差数列，利用等差数列的性质得到2b=a+c，整理后与直线方程ax+by+c=0比较发现，直线ax+by+c=0恒过Q（1，-2），再由点P（-1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，得到PM与QM垂直，利用圆周角定理得到M在以PQ为直径的圆上，由P和Q的坐标，利用中点坐标公式求出圆心A的坐标，利用两点间的距离公式求出此圆的半径r，线段MN长度的最值即为M与圆心A的距离与半径的和与差，求出即可．

解答 解：∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，即a-2b+c=0，
可得方程ax+by+c=0恒过Q（1，-2），
又点P（-1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，
∴∠PMQ=90°，
∴M在以PQ为直径的圆上，
∴此圆的圆心A坐标为（$\frac{1-1}{2}$，$\frac{-2+0}{2}$），即A（0，-1），半径r=$\frac{1}{2}$|PQ|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（1+1）^{2}+（{-2）}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
又N（3，3），
∴|AN|=5，
则|MN|_max=5+$\sqrt{2}$，最小值为5-$\sqrt{2}$，所以线段MN的范围为：[5-$\sqrt{2}$，5+$\sqrt{2}$]．
故答案为：[5-$\sqrt{2}$，5+$\sqrt{2}$]．

点评 此题考查了等差数列的性质，恒过定点的直线方程，圆周角定理，线段中点坐标公式，以及两点间的距离公式，利用等差数列的性质得到2b=a+c，即a-2b+c=0是解本题的突破点．