Question

5．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x+b（b∈R）．
（Ⅰ）当b=0时，求f（x）在[1，4]上的值域；
（Ⅱ）若函数f（x）有三个不同的零点，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的值域即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极大值和极小值，根据函数的零点的个数，得到b的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）当b=0时，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2x²+3x，
f′（x）=x²-4x+3=（x-1）（x-3），
x∈[1，3）时，f′（x）＜0，函数f（x）在[1，3）递减，
x∈（3，4]时，f′（x）＞0，函数f（x）在（3，4]递增，
由f（3）=0，f（1）=f（4）=$\frac{4}{3}$，
∴f（x）在[1，4]的值域是[0，$\frac{4}{3}$]；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f′（x）=（x-1）（x-3），
由f′（x）＜0，解得：1＜x＜3，
由f′（x）＞0，解得：x＞3或x＜1，
故f（x）在（1，3）递减，在（-∞，1），（3，+∞）递增，
故f（x）_极大值=f（1）=b+$\frac{4}{3}$，f（x）_极小值=f（3）=b，
故b+$\frac{4}{3}$＞0且b＜0即-$\frac{4}{3}$＜b＜0时，函数f（x）有三个不同的零点．

点评 本题考查了函数的单调性、极值，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．