Question

根据如图所示的流程图，将输出的的值依次分别记为，将输出的的值依次分别记为．

（Ⅰ）求数列，通项公式；
（Ⅱ）依次在与中插入个3，就能得到一个新数列，则是数列中的第几项？
（Ⅲ）设数列的前项和为，问是否存在这样的正整数，使数列的前项的和，如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1），；（2）是数列中的第17项；（3）当时，

Ⅰ）由流程图，，
是公差为1的等差数列．∴．
由流程图，，
∴．
∴是首项为1，公比为3的等比数列．
∴，∴．
（Ⅱ）的前几项为，
＝4，∴是数列中的第17项．
（Ⅲ）数列中，项（含）前的所有项的和是：
，
当时，其和为，
当时，其和为．
又因为2008－1120＝888＝296×3，是3的倍数，
故当时，．