Question

设函数.
（1）求函数在区间的最小值；
（2）当时，记曲线在处的切线为，与轴交于点，求证：.

Answer 1

见解析.

（1）先求出导数，再利用导数求最值的步骤求出最值，注意对参数a 的讨论要全面；(2)先求出切线方程，进一步求出点的坐标，然后利用不等式知识比较大小即可。
解：（1），（2分）
当时，为上的增函数
∴在区间上的最小值为  （4分）
当时，在，上单调递增，在上单调递减   
当，即时，在区间上的最小值为
当，即时，在区间上的最小值为   （8分）
综上，当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为。
（II）证明：曲线在点处的切线方程为：
，令，得    （10分）
∴，∵，∴，   （12分）
∵，∴，∴  
∴ （15分）