Question

在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|为两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）之间的“折线距离”，在这个定义下，给出下列命题：
①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；
②到原点的“折线距离”小于等于2的点构成的区域面积为8；
③到M（0，-2），N（0，2）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是y=0；
④直线y=x+1上的点到N（0，2）的“折线距离”的最小值为1．
其中真命题有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：推理和证明

分析：先根据折线距离的定义分别表示出所求的集合，然后根据集合中绝对值的性质进行判定即可．

解答： 解：对于①到原点的“折线距离”等于1的点的集合{（x，y）||x|+|y|=1}，是一个正方形故①错误；
对于②根据题意，到坐标原点O的“折线距离”小于等于2的点P（x，y）满足等式d（P，0）=|x-0|+|y-0|≤2，即|x|+|y|≤2，
对应的图形是以原点为中心，各个顶点在坐标轴上且对角线长为4的正方形及其内部，如图所示
∴所求图形的面积为S=

1

2

×4²=8；故②正确

对于③到M（0，-2），N（0，2）两点的“折线距离”相等点的集合是{（x，y）||x|+|y+2|=|x|+|y-2|}，
即|y+2|=|y-2|，解得y=0，故到M（0，-2），N（0，2）两点的“折线距离”相等的点的轨迹方程是y=0，故③正确
对于④设直线与两轴的交点分别为A（-1，0），B（0，1），设C（x，y）为直线上任意一点，作CD⊥x轴于N，于是有|CD|=|BD|，
所以d=|ND|+|CD|=|ND|+|BD|，
过B作x轴的垂线交直线y=x+1上于点E，
则当C在线段AE上时，d=|ND|+|CD|=|ND|+|BD|=|BN|，
当M在直线y=x+1上且在线段AG外时，d=|ND|+|CD|=|ND|+|BD|＞|BN|，
所以，d（N，C）的最小值为|BN|=1，故④正确；

故真命题有：②③④．
故选：C．

点评：本题主要考查了“折线距离”的定义，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题．