Question

已知定义域为R的奇函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0；当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，且f（2）=0，则关于x的不等式（x+1）f（x）＞0的解集为（　　）

• A、（-2，-1）∪（0，2）
• B、（-∞，-2）∪（0.2）
• C、（-2，0）
• D、（1，2）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：根据奇函数图象关于原点对称的特点，容易判断函数f（x）在R上的单调性，分别在各个单调区间内解不等式（x+1）f（x）＞0，并把0变成f（0），或f（2），f（-2），从而根据函数f（x）在单调区间上的单调性解出f（x）＞0，或f（x）＜0，从而解出原不等式在该区间的解，把原不等式在各个单调区间的解求并集即得原不等式的解．

解答： 解：根据奇函数的图象关于原点对称，通过已知条件知道：函数f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递减；在[-1，1]上单调递增；
又f（0）=0，f（2）=f（-2）=0；
∴若-1＜x＜1时：x+1＞0，∴由原不等式得f（x）＞0=f（0），根据函数f（x）在（-1，1）上单调递增得0＜x＜1；
若x≥1，x+1＞0，∴由原不等式得f（x）＞0=f（2），根据函数f（x）在[1，+∞）上单调递减得1≤x＜2；
若x＜-1，x+1＜0，∴由原不等式得f（x）＜0=f（-2），根据函数f（x）在（-∞，-1）上单调递减得-2＜x＜-1；
∴原不等式的解集为：（0，2）∪（-2，-1）．
故选：A．

点评：考查奇函数图象的对称性，对称区间上的单调性，根据函数单调性解不等式的方法．