Question

如图，设P是圆x²+y²=2上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|PD|=

2

|MD|，当P在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求证：曲线C是焦点在x轴上的椭圆，并求其方程；
（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F₂，直线l：y=kx+m与椭圆C交于A、B两点，直线F₂A与F₂B的倾斜角互补，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x_P，y_P），由已知得

xP=x yP= 2 y

，由此能证明曲线C是焦点在x轴上的椭圆，并能求出其方程．
（Ⅱ）设直线AB方程为y=kx+m，由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明直线MN过定点（2，0）．

解答： （Ⅰ）证明：设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x_P，y_P），
由已知得

xP=x yP= 2 y

，
∵P在圆上，∴x²+（

2

y）²=2，即

x2

2

+y2=1，
∴曲线C是焦点在x轴上的椭圆，其方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）证明：由题意，知直线AB斜率存在，其方程为y=kx+m，
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=（4km）²-4（2k²+1）（2m²-2）＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

，
且kF2A=

kx1+m

x1-1

，kF2B=

kx2+m

x2-1

，
由已知直线F₂A与F₂B的倾斜角互补得，
kF2M+kF2N=0，即

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0，
化简得，2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，
∴2k•

2m2-2

2k2+1

-

4km(m-k)

2k2+1

-2m=0，
整理得，m=-2k，
∴直线MN的方程为y=k（x-2），
故直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）．

点评：本题考查曲线是椭圆的证明，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，熟练掌握椭圆的简单性质及其应用．