Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2sin（x+$\frac{π}{6}$），-2），$\overrightarrow{b}$=（2，$\frac{\sqrt{3}}{2}$-2cosx）．
（Ⅰ）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求sin（x+$\frac{4π}{3}$）的值；
（Ⅱ）设f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，若x∈[0，π]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，即4sin（x+$\frac{π}{6}$）+4cosx-$\sqrt{3}$=0，整理求得sin（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{4}$．再由三角函数的诱导公式求得sin（x+$\frac{4π}{3}$）；
（Ⅱ）由数量积的坐标运算可得f（x）的解析式，再由x的范围求得f（x）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
即4sin（x+$\frac{π}{6}$）+4cosx-$\sqrt{3}$=0，整理得：2$\sqrt{3}$sinx+6cosx-$\sqrt{3}$=0．
∴4$\sqrt{3}$（sinx•$\frac{1}{2}$+cosx•$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\sqrt{3}$，即4$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，得sin（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{4}$．
∴sin（x+$\frac{4π}{3}$）=-sin（x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{4}$；
（Ⅱ）f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$．
∵x∈[0，π]，∴x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，则4$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$）∈[-6，4$\sqrt{3}$]，
则f（x）∈[-6-$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$]．
即f（x）的值域为[-6-$\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．