Question

15．如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，∠ADC=120°，AB=2CD=2，平面D₁DCC₁垂直平面ABCD，D₁C⊥AB，M是线段AB的中点．
（Ⅰ）求证：D₁M∥面B₁BCC₁；
（Ⅱ）若DD₁=2，求平面C₁D₁M和平面ABCD所成的锐角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AB∥DC．说明以四边形BMD₁C₁为平行四边形，推出D₁M∥BC₁．然后证明D₁M∥平面B₁BCC₁
（Ⅱ）方法一连接AC，MC．以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C-xyz，求出相关的坐标，求出平面C₁D₁M的一个法向量，平面ABCD的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的平面角的余弦函数值．
方法二：说明∠D₁NC为二面角C₁-AB-C的平面角，通过在Rt△D₁CN中，求解即可．

解答 证明（Ⅰ）　因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB=2CD，所以AB∥DC．
又由M是AB的中点，因此CD∥MB且CD=MB．
在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，因为CD∥C₁D₁，CD=C₁D₁，
可得C₁D₁∥MB，C₁D₁=MB，所以四边形BMD₁C₁为平行四边形，
因此D₁M∥BC₁．又D₁M?平面B₁BCC₁，BC₁?平面B₁BCC₁，
所以D₁M∥平面B₁BCC₁．…（5分）
（Ⅱ）解　方法一　如图（2），连接AC，MC．

由（1）知CD∥AM且CD=AM，
所以四边形AMCD为平行四边形，
可得BC=AD=MC，
由题意∠ABC=∠PAB=60°，
所以△MBC为正三角形，
因此AB=2BC=2，CA=$\sqrt{3}$，
因此CA⊥CB．
又D₁C⊥AB，CD∥AB，故D₁C⊥CD，而平面D₁DCC₁垂直平面ABCD且交于CD，则D₁C⊥平面ABCD
以C为坐标原点，建立如图（2）所示的空间直角坐标系C-xyz…（7分）
由DD₁=2得D₁C=$\sqrt{3}$，所以A（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），D₁（0，0，$\sqrt{3}$）…（8分）
因此M$（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，0）$，所以$\overrightarrow{M{D_1}}=（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，-\frac{1}{2}，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{{D_1}{C_1}}=\overrightarrow{MB}=（-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}，0）$…（9分）
设平面C₁D₁M的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
$\begin{array}{l}由\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{{D_1}{C_1}}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{M{D_1}}=0\end{array}\right.得\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y=0\\ \sqrt{3}x+y-2\sqrt{3}z=0\end{array}\right.\end{array}$
可得平面C₁D₁M的一个法向量 $\overrightarrow n=（1，\sqrt{3}，1）$…（10分）
又$\overrightarrow{C{D_1}}=（0，0，\sqrt{3}）$为平面ABCD的一个法向量…（11分）
因此$cos＜\overrightarrow{C{D_1}}，\overrightarrow n＞=\frac{{\overrightarrow{C{D_1}}•\overrightarrow n}}{{\overrightarrow{|C{D_1}}||\overrightarrow n|}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
所以平面C₁D₁M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$…（12分）
方法二：由（Ⅰ）知平面D₁C₁M∩平面ABCD=AB，过点C向AB引垂线交AB于点N，

连接D₁N，如图（3）．
由D₁C⊥AB，CD∥AB，故D₁C⊥CD，
而平面D₁DCC₁垂直平面ABCD且交于CD，
则D₁C⊥平面ABCD，
可得D₁N⊥AB，
因此∠D₁NC为二面角C₁-AB-C的平面角…（9分）
在Rt△BNC中，BC=1，∠NBC=60°，可得CN=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
所以ND₁=$\sqrt{C{{D}_{1}}^{2}+C{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．
在Rt△D₁CN中，cos∠D₁NC=$\frac{CN}{{{D_1}N}}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\frac{{\sqrt{15}}}{2}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
所以平面C₁D₁M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$…（12分）

点评 本题考查直线与平面的位置关系的应用，二面角的平面角的求法，考查计算能力．