Question

13．2016年1月2日凌晨某公司公布的元旦全天交易数据显示，天猫元旦当天全天的成交金额为315.5亿元．为了了解网购者一次性购物情况，某统计部门随机抽查了1月1日100名网购者的网购情况，得到如表数据统计表，已知网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4．

网购金额（元）	频数	频率
（0，500]	5	0.05
（500，1000]	x	p
（1000，1500]	15	0.15
（1500，2000]	25	0.25
（2000，2500]	30	0.3
（2500，3000]	y	q
合计	100	1.00

（1）先求出x，y，p，q的值，再将如图3所示的频率分布直方图绘制完整；
（2）对这100名网购者进一步调查显示：购物金额在2000元以上的购物者中网龄3年以上的有35人，购物金额在2000元以下（含2000元）的购物者中网龄不足3年的有20人，请填写下面的列联表，并据此判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关？

x	网龄3年以上	网龄不足3年	合计
购物金额在2000元以上	35
购物金额在2000元以下		20
总计			100

参考数据：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）
（3）从这100名网购者中根据购物金额分层抽出20人给予返券奖励，为进一步激发购物热情，在（2000，2500]和（2500，3000]两组所抽出的8人中再随机抽取2人各奖励1000元现金，求（2000，2500]组获得现金将的数学期望．

Answer 1

分析 （1）求出网购金额在2000元以上的人数，可得x，y的值，由此能求出x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图．
（2）由数据可得列联表，利用公式，可得结论．
（3）（2000，2500]组获奖人数X为0，1，2，求出相应的概率，即可得出（2000，2500]组获得现金将的数学期望．

解答 解：（1）因为网购金额在2000元以上（不含2000元）的频率为0.4，
所以网购金额在（2500，3000]的频率为0.4-0.3=0.1，
即q=0.1，且y=100×0.1=10，
从而x=15，p=0.15，相应的频率分布直方图如图2所示．

…（4分）
（2）由题设列联表如下

	网龄3年以上	网龄不足3年	合计
购物金额在2000元以上	35	5	40
购物金额在2000元以下	40	20	60
合计	75	25	100

…（7分）
所以K²=$\frac{100×（35×20-40×5）^{2}}{75×25×40×60}$≈5.56＞5.024
所以据此列联表判断，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为网购金额超过2000元与网龄在3年以上有关．…（8分）
（3）在（2000，2500]和（2500，3000]两组所抽出的8人中再抽取2人各奖励1000元现金，则（2000，2500]组获奖人数X为0，1，2，
且P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{0}{C}_{2}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{1}{28}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{2}^{1}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{3}{7}$，P（X=2）=$\frac{15}{28}$，
故（2000，2500]组获得现金奖的数学期望E（X）=0×$\frac{1}{28}$+1000$\frac{3}{7}$+2000×$\frac{15}{28}$=1500．…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图，考查独立性检验的运用，考查数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．