Question

在正三棱柱ABCA₁B₁C₁中，点D是BC的中点，BC＝BB₁.
 
(1)若P是CC₁上任一点，求证：AP不可能与平面BCC₁B₁垂直；
(2)试在棱CC₁上找一点M，使MB⊥AB₁.

Answer 1

（1）见解析（2）M为CC₁的中点

(1)证明：反证法．假设AP⊥平面BCC₁B₁，
因为BC平面BCC₁B₁，所以AP⊥BC.
又正三棱柱ABCA₁B₁C₁中，CC₁⊥BC，AP∩CC₁＝P，AP平面ACC₁A₁，CC₁平面ACC₁A₁，所以BC⊥平面ACC₁A₁.
而AC平面ACC₁A₁，所以BC⊥AC，这与△ABC是正三角形矛盾．
故AP不可能与平面BCC₁B₁垂直．
(2)M为CC₁的中点．
证明：∵在正三棱柱ABCA₁B₁C₁中，BC＝BB₁，∴四边形BCC₁B₁是正方形．
∵M为CC₁的中点，D是BC的中点，∴△B₁BD≌△BCM，∴∠BB₁D＝∠CBM，∠BDB₁＝∠CMB.
∵∠BB₁D＋∠BDB₁＝，∠CBM＋∠BDB₁＝，∴BM⊥B₁D.
∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C＝BC，AD平面ABC，
∴AD⊥平面BB₁C₁C.
∵BM平面BB₁C₁C，∴AD⊥BM.
∵AD∩B₁D＝D，∴BM⊥平面AB₁D.
∵AB₁平面AB₁D，∴MB⊥AB₁.