Question

19．如图，在矩形ABCD中，AB=$\sqrt{2}$，BC=2，点E在边BC上，点F在边CD上，若$\overrightarrow{DF}$=λ$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{CE}$=λ²$\overrightarrow{CB}$，则$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{FE}$的最大值为$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，可得A（0，0），B（$\sqrt{2}$，0），C（$\sqrt{2}$，2），D（0，2），设E（$\sqrt{2}$，n），F（m，2），运用向量共线的坐标表示，解得m，n，再由向量的数量积的坐标表示，结合二次函数的最值的求法，即可得到最大值．

解答 解：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系，
可得A（0，0），B（$\sqrt{2}$，0），C（$\sqrt{2}$，2），D（0，2），
设E（$\sqrt{2}$，n），F（m，2），
由$\overrightarrow{DF}$=λ$\overrightarrow{DC}$，可得m=$\sqrt{2}$λ，即F（$\sqrt{2}$λ，2），
由$\overrightarrow{CE}$=λ²$\overrightarrow{CB}$，可得n=2-2λ²，即E（$\sqrt{2}$，2-2λ²），
则$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{FE}$=（$\sqrt{2}$λ，2）•（$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$λ，-2λ²）
=2λ（1-λ）-4λ²=-6λ²+2λ=-6（λ-$\frac{1}{6}$）²+$\frac{1}{6}$，
当λ=$\frac{1}{6}$时，则$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{FE}$取得最大值$\frac{1}{6}$．
故答案为：$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查向量的数量积的最值的求法，注意运用坐标法，考查二次函数的最值的求法，以及化简运算能力，属于中档题．