Question

已知实数a＞0，命题p：?x∈R，|sinx|＞a有解；命题q：指数函数y=（a-

1

2

）^x为减函数，若p，q中有且仅有一个是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,函数的性质及应用,简易逻辑

分析：先考虑p，q均为真，由正弦函数的值域以及指数函数的单调性，可得a的范围，再由p，q中有且仅有一个是真命题，则p真q假和p假q真，分别得到不等式组，解出它们即可．

解答： 解：若p为真，由于|sinx|≤1，
则0＜a＜1；                           
若q为真，由指数函数的单调性可得
0＜a-

1

2

＜1，
解得

1

2

＜a＜

3

2

．
若p，q中有且仅有一个是真命题，
则若p真q假，即有

0＜a＜1 a≥ 3 2 或a≤ 1 2

，
则0＜a≤

1

2

；                          
若p假q真，即有

a≥1或a≤0 1 2 ＜a＜ 3 2

，
则1≤a＜

3

2

，
综上，0＜a≤

1

2

或1≤a＜

3

2

．

点评：本题考查命题的真假判断，考查正弦函数的值域和指数函数的单调性，考查不等式的解法，考查运算能力，属于基础题和易错题．