Question

【题目】如图，已知位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，1）且被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2，过点H（0，t）的直线l于圆C相交于M、N两点，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．

（1）求圆C的方程；
（2）当t=1时，求出直线l的方程；
（3）求直线OM的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为位于y轴左侧的圆C与y轴相切于点（0，1），所以圆心C在直线y=1上，

设圆C与x轴的交点分别为A、B，

由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2：1，得 ，

所以CA=CB=2，圆心C的坐标为（﹣2，1），

所以圆C的方程为：（x+2）2+（y﹣1）2=4

（2）解：当t=1时，由题意知直线l的斜率存在，设直线l方程为y=mx+1，

由 得： 或 ，

不妨令 ，

因为以MN为直径的圆恰好经过O（0，0），

所以 =（ ， ）（0，1）= =0，

解得 ，所以所求直线l方程为 或

（3）解：设直线MO的方程为y=kx，

由题意知， ，解之得 ，

同理得， ，解之得 或k＞0．由（2）知，k=0也满足题意．

所以k的取值范围是 ．

【解析】（1）由题意可知圆心在直线y=1上，设出圆与x轴的交点分别为A和B，由被x轴分成的两段圆弧长之比为1：2得到∠ACB的度数，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得到半径AC和CB的长，进而得到圆心C的坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆C的方程即可；（2）由t的值得到H的坐标，又直线l的斜率存在，设出直线l的方程，与圆的方程联立即可求出两交点坐标分别设为M和N，由以MN为直径的圆恰好经过坐标原点O，根据直径所对的圆周角为直角，得到 与 垂直，利用两向量垂直时数量积为0，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，写出直线l的方程即可；（3）设出直线OM的方程，根据直线OM与圆的位置关系是相交，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线OM的距离d，让d小于圆C的半径列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的取值范围．
【考点精析】认真审题，首先需要了解圆的标准方程(圆的标准方程：；圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程)．