Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，b=c，且满足

sinB

sinA

=

1-cosB

cosA

．若点O是△ABC外一点，∠AOB=θ（0＜θ＜π），OA=2OB=2，平面四边形OACB面积的最大值是（　　）

• A、

  8+5 3

  4

• B、

  4+5 3

  4

• C、3
• D、

  4+5 3

  2

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：依题意，可求得△ABC为等边三角形，利用三角形的面积公式与余弦定理可求得S_OACB=2sin（θ-

π

3

）+

5 3

4

 （0＜θ＜π），从而可求得平面四边形OACB面积的最大值．

解答： 解：△ABC中，∵b=c，

sinB

sinA

=

1-cosB

cosA

，∴sinBcosA+cosBsinA=sinA，即sin（A+B）=sin（π-C）=sinC=sinA，
∴A=C，又b=c，∴△ABC为等边三角形．
∴S_OACB=S_△AOB+S_△ABC
=

1

2

•OA•OB•sinθ+

1

2

•AB2•sin

π

3

=

1

2

×2×1×sinθ+

3

4

（OA²+OB²-2OA•OB•cosθ）
=sinθ-

3

cosθ+

5 3

4

=2sin（θ-

π

3

）+

5 3

4

．
∵0＜θ＜π，∴-

π

3

＜θ-

π

3

＜

2π

3

，故当θ-

π

3

=

π

2

时，sin（θ-

π

3

）取得最大值为1，
故S_OACB=的最大值为2+

5 3

4

=

8+5 3

4

，
故选：A．

点评：题考查三角函数中的恒等变换应用，考查余弦定理的应用，求得S_OACB=2sin（θ-

π

3

）+

5 3

4

是解题的关键，也是难点，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．