Question

7．数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=$\frac{2}{5}$，n＞1时，$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$，则a_n等于$\frac{2}{n+3}$．

Answer 1

分析 根据条件构造等差数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$，利用等差数列的通项公式即可得到结论．

解答 解：∵n＞1时，$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项为$\frac{1}{{a}_{1}}=2$，公差d=$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{1}}=\frac{5}{2}-2=\frac{1}{2}$，
则$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+3}{2}$，
即a_n=$\frac{2}{n+3}$，
故答案为：$\frac{2}{n+3}$

点评 本题主要考查数列的通项公式的求解，根据条件构造等差数列是解决本题的关键．